Transformation of a Vector from spherical to Cartesian Coordinate in hindi आदि का विस्तारपूर्वक इस आर्टिकल में किया गया है।
किसी भी vector को Spherical से Cartesian Coordinate मे Transformation या conversion कैसे करे ?
दोस्तो Spherical से Cartesian Coordinate मे conversion या transformation सीखने से पहले आपको Spherical Coordinate की लेख और vector projection को समझने की आवश्कता है।
यहां एक vector को Spherical form (r, θ , ϕ) मे दिया गया है जिसे (x , y, z ) की direction मे घुमाना होता है या Cartesian की direction मे घुमाना होता है। जैसा कि ऊपर वाले डायग्राम में दिया गया है । इसे ही vector transformation या conversion कहा जाता है यानी spherical vector form को Cartesian vector मे बदलना ही vector transformation या conversion कहा जाता है।
vector transformation या conversion के बाद Vector वही रहती है केवल vector की direction बदलती हैं।
अर्थात spherical form A(r, θ, ϕ) vector का projection को x , y और z की direction मे निकालना ही spherical to Cartesian vector transformation कहा जाता है।
Mathematics मे vector का transformation करने के लिए Projection का उपयोग किया जाता है।
यदि कोई भी vector को Spherical form (r, θ, ϕ) में दिया गया है तो इसका Cartesian coordinate system मे transformation के लिए हमलोग vector (r, θ, ϕ) का projection को X ,Y और Z की direction में निकालना होता है।
यहां एक vector A Spherical form (r, θ, ϕ) में दिया गया है जैसा कि नीचे में दिखाया गया है ।
Given:—
Solution :—
इस ऊपर दिए गए spherical vector को Cartesian vector form मे बदलना है या transformation करना है।इसलिए transformation या conversion करने के लिए हम नीचे दिए गए Eqation की मदद लेंगे।
अब हम उपर दिए गए Eqation का मतलब समझते हैं।
Ax = vector A का projection , ” i ” direction मे या X–axis मे
Ay = vector A का projection , ” j ” direction मे या Y–axis मे
Az = vector A का projection , ” k ” direction मे या Z–axis मे
आइए अब Ax , Ay और Az की वैल्यू को निकालते हैं।
अब चूंकि यहां “r” unit vector और “i” unit vector एक dot product है इसलिए इनके बीच का कोण को निकलेंगे । आइए अब इस eqation मे उपयोग होने वाले सभी dot product को निकलेंगे।
(1) “r” unit vector और “i” unit vector का dot product के लिए –
“r” unit vector और “i” unit vector के बीच का कोण आप direct नही निकाल सकते हैं इसलिए सबसे पहले “r” unit vector का projection को XY plane मे निकालेंगे।
“r” unit vector का projection = OB = AD = r sinθ = sinθ [ चूंकि “r” unit vector है इसलिए r= 1 ]
अब चूंकि “r” unit vector का projection = OB= sinθ एवं OB तथा “i” unit vector के बीच का कोण “ϕ” है ।
इसलिए “r” unit vector और “i” unit vector का dot product = sin cosϕ
(2) “θ” unit vector और “i” unit vector का dot product के लिए –
” θ” unit vector और “i” unit vector के बीच का कोण आप direct नही निकाल सकते हैं इसलिए सबसे पहले “θ” unit vector का projection को OF के समांतर DE line मे निकालेंगे।
“θ” unit vector का projection = AE = 1 cosθ = cos θ [ चूंकि “θ” unit vector है θ” unit vector lenght = 1 ]
अब चूंकि “θ” unit vector का projection = AE= cosθ और AE= BF एवं BF तथा “i” unit vector के बीच का कोण “ϕ” है ।
इसलिए “θ” unit vector और “i” unit vector का dot product = cosθ cosϕ
(3) “ϕ” unit vector और “i” unit vector का dot product के लिए –
” ϕ” unit vector और “i” unit vector के बीच का कोण निकालने के लिए spherical की top view को देखना चाहिए।
इनके बीच का कोण = 90 + ϕ
इसलिए “ϕ” unit vector और “i” unit vector का dot product = 1×1cos 90 + ϕ = – sin ϕ