Dot product in hindi & Cross product in hindi, Multiplication vector in hindi आदि का विस्तारपूर्वक वर्णन किया गया है।
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Vectors का Multiplication के प्रकार
Vectors का Multiplication दो प्रकार के होते हैं।
- Dot product or Scalar product
- Cross product or Vector product
Dot product क्या है ?Scalar product क्या है ?
यदि दो Vector का गुणनफल Scalar आता है तो इस प्रकार के उत्पाद को Dot product कहा जाता है। आइए इसे समझने की कोशिश करेंगे जो इंजीनियरिंग के लिए बहुत ही महत्वपूर्ण है।
आइए एक उदाहरण से समझने की कोशिश करेंगे। की मदद
यहां हम Flux density field और Surface area की मदद से Dot product को समझने की कोशिश करेंगे।
Flux density field क्या है सबसे पहले इसे समझते हैं। Flux = Line की कुल संख्या , Density = Unit area , Field = क्षेत्र
अत: Flux density field = Flux per unit area = Flux/Area = F
Surface Area = l × b = A
इसलिए Surface Area “A” से गुजरने वाली Total Flux = f × A होगी,
परन्तु यह केवल उस समय लागू होती है जब Flux और surface Area एक दूसरे के लम्बवत्त (perpendicular) हो जिसके परिणास्वरूप Surface Area vector और Flux के बीच का कोण (Angle ) = 0° होगी । क्यूंकि हमेशा Surface Area vector के perpendicular ही surface Area होती है ।
लेकिन जब surface area को तिरछा किया जाए तो सूत्र “Flux= F × A” से Surface Area “A” से गुजरने वाली Total Flux नही निकलेगी जैसे कि नीचे दिए गए चित्र में देख सकते है। surface area को तिरछा किया जाए तो surface area से निकलने वाली Flux में कमी आएगी जैसा की नीचे चित्र में दिखाया गया है।
माना, Surface area को तिरछा करने पर Flux और surface area Vector के बीच का कोण (angle) = θ बनाती है।
Surface area को तिरछा करने पर Flux के आधार पर Surface की केवल height में परिवर्तन आती है , या Surface area को तिरछा करने पर surface से गुजरने वाली कुल flux , surface की height पर निर्भर करेगी । अत: Surface की height में कितना परिवर्तन आता है इसे जानने के लिए surface area Vector या “A” vector की projection को flux की लंबाई में निकालेंगे ।
इसलिए “A” vector की projection = A cos θ
इसलिए अब ; Surface Area “A” से गुजरने वाली Total Flux = f × A cos θ
यहां , f = f Vector – (1)
A cos θ = A Vector Projection –(2)
चूंकि Flux = f × A cos θ – (3)
इसलिए (1), (2) & (3) से
Flux = f × A cos θ
यहां चूंकि , f= flux per unit area ( only magnitude)
A cos θ = length ( only magnitude)
इसलिए Flux = f × A cos θ एक dot product है क्यूंकि इसके पास direction नही है केवल magnitude है जो scalar product को दर्शाती है।
Cross product क्या है ? Vector product क्या है ?
अब समकोण त्रिभुज OFE में
sinθ = FE / OE
अब त्रिभुज OCE का क्षेत्रफल = (1/2)×(OC ×FE)
एवं त्रिभुज OCE का क्षेत्रफल = त्रिभुज CDE का क्षेत्रफल
इसलिए OCDE का क्षेत्रफल = 2× (1/2)×(OC ×FE)
अब OCDE का क्षेत्रफल = (OC ×FE)
Scalar Triple product क्या है ?
अब समकोण त्रिभुज ODE में
cosθ = DE / OE
DE = OE cosθ = C cosθ = Height of 3D Parallelepiped
अब , इस 3D Parallelepiped का volume = (Area of Parallelogram OFGH ) × ( height of 3D solid)
अत: 3D Parallelepiped volume का तीनो product एक scalar quantity है इसलिए इसे Scalar triple product कहा जाता है ।