complex numbers in hindi का विस्तारपूर्वक वर्णन इस आर्टिकल में किया गया है।
Table of Contents
complex numbers meaning in hindi
Complex numbers = सम्मिश्र संख्याएँ
Complex numbers = Real number & imaginary number
complex numbers definition in hindi
वैसी संख्याएँ जो real number और imaginary number से मिलकर बनी होती है complex numbers कहलाती है।
Complex numbers क्या है ?
दोस्तो complex numbers एक प्रकार की जटिल संख्याएँ होती है जो real number और imaginary number से मिलकर बनी होती है।
दोस्तो a एक real number है जबकि ” bi ” एक imaginary number है जिससे a+bi मिलकर एक complex number बनी हुई है। जहां ” i ” = √-1 होता है। इन दो संख्या से मिलकर complex numbers बनी हुई है।
आइए अब complex numbers को समझने से पहले real number , imaginary number और complex number की पहचान करे –
real number – 2 , 3 , π , 2/3 , √3 , 1.5 इत्यादि।
imaginary number – सरलीकृत रूप 5i , 8i , i√6 । “i ” को iota कहा जाता है जो imaginary unit है। जहां i=√-1 , i²=-1। एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल (square root ) को imaginary number कहा जाता है । -1 का वर्गमूल (square root) को ही i or j द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। इलेक्ट्रीकल और इलेक्ट्रोनिक्स इंजीनियरिंग मे इसे ” j ” द्वारा प्रदर्शित किया जाता है।
Complex numbers – a+ib , 2+3i, 5+6i इत्यादि।
Complex numbers की जरूरत क्यूं है ?
यदि द्विघात समीकरणों के मूल वास्तविक नहीं हैं, तो अज्ञात मूलों को सरल बनाने के लिए Complex numbers का उपयोग किया जाता है।
Complex numbers से हम किसी भी बिंदु को represent कर सकते हैं या किसी भी बिंदु को represent करने के लिए हम complex numbers का उपयोग करते हैं।
किसी भी ब्रांच जैसे – इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग, मैकेनिकल इंजीनियरिंग या सिविल इंजीनियरिंग , Computer science engineering की पढ़ाई में Complex numbers का उपयोग बहुत ही अधिक होती है। अगर आप किसी भी इंजिनियरिंग की पढ़ाई करना चाहते हो तो आपको Complex numbers की बेसिक जानकारी अति आवश्यक है।
complex number का उपयोग AC current Circuit Analysis , electromagnetism,electronics, Quantum Mechanics ओर भी कई क्षेत्र में इसका उपयोग किया जाता है।
Complex numbers Algebraic Operations in hindi
आइए अब complex number को Algebraic तरीके से योग, घटाव , गुणन और भागा करना सीखेंगे ।
Complex numbers का योग –:
(a + bi) + (c + di) = a + bi + c + di = (a + c) + (b + d)i
Complex numbers का घटाव –:
(a + bi) – (c + di) = a + bi – c – di = (a – c) + (b – d)i
Complex numbers का गुणन –:
(a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + adi + bci -bd =( ac – bd )+(ad+bc)i [ i²= -1]
Complex numbers का विभाजन –:
2 + 3i/4 − 5i का विभाजन
= (2 + 3i/4 − 5i ) × (4 + 5i/4 + 5i)
= (8 + 10i + 12i + 15i2) /(16 + 20i − 20i − 25i2)
= (8 + 10i + 12i − 15 ) / (16 + 20i − 20i + 25) [i²=-1]
Terms of complex numbers in hindi
Conjugate of complex number –
दोस्तो complex numbers का Conjugate करने के लिए आपको केवल ” +” चिन्ह को “–” चिन्ह मे बदलना होता है या “–” को ” +” चिन्ह मे बदलना होता है।
Z= a+bi
Conjugate Z = a-bi
modulus of complex numbers –
origin “0” से complex number “z” बिंदु की दूरी को ही modulus कहा जाता है इसे “r” द्वारा भी दर्शाया जता है। जैसे की नीचे चित्र में दिया गया है यहां origin “0 ” है और बिंदु “z” complex number z= a+bi को represent कर रही है।
अर्थात 0 से Z की दूरी को modulus कहेंगे।
z= a+bi का modulus यानि origin “0” से बिंदु “Z” complex number की दूरी को हमलोग इस तरह निकालते हैं।
।z।= √(a²+b²)
Argument of complex number
Positive real axis के साथ origin से complex number को मिलाने वाली लाइन के साथ बनने वाली angle ( θ ) को ही Argument कहा जाता है।
Representation of a complex numbers in hindi
Complex number को तीन प्रकार से Representation किया जाता है।
- Cartesian form / Geometric form
- Polar form / Trigonometric form
- Euler form /exponential form
Cartesian form / Geometric form in hindi
आइए एक Geometric form , complex संख्या z= a + bi को complex समतल पर represent करेंगे।
उपर दिए गए complex समतल पर x axis मे a दूरी लेते हैं और y axis मे b दूरी लेते हैं इस प्रकार प्राप्त बिंदु “z” complex number “a+bi “को represent कर रहा है और इसी प्रकार से हम कोई भी complex number को geometric form मे एक बिंदु के रूप में प्राप्त कर सकते हैं।
Note : Cartesian cordinate= ( x , y ) इसलिए बिंदु z ( a , b ) द्वारा complex number “a+bi ” को दर्शाता है। अर्थात z ( a , b ) हो तो हम complex number को Cartesian form मे आसानी से दर्शा सकते हैं।
Polar form / Trigonometric form in hindi
आइए अब एक Trigonometric form , complex संख्या z= x + iy को complex समतल पर represent करेंगे।
यहां, r = ।z।=modulus= origin “0” से complex number “z” के बीच की दूरी है।
θ = arg(z)= x और r के बीच का angle
अब : cosθ = b/h = x/r
इसलिए x = r cosθ
पुन : sinθ = p/h = y/r
इसलिए y = r sinθ
अब चुंकि z = x+iy [ general form ]
इसलिए z = r cosθ + r sinθ [ polar form]
z= r (cosθ + i sinθ)
note : Polar coordinates= ( r , θ )
इसलिए बिंदु z ( r , θ ) द्वारा complex number ” x+iy ” को दर्शाता है। अर्थात z ( r , θ ) हो तो हम complex number को polar form मे आसानी से दर्शा सकते हैं।
Euler form /exponential form in hindi
Euler द्वारा प्रमाणित : cosθ + i sinθ = eiθ
इसलिए complex number
z= x + iy [ Cartesian form ]
= r (cosθ + i sinθ) [ polar form ]
= r.eiθ [ Euler form ]
अर्थात z ( r , θ ) हो तो हम complex number को polar form मे आसानी से दर्शा सकते हैं।
Q1. Complex number 2+2i को polar form और Euler form मे बदले
किसी भी complex number को polar form और Euler form मे बदलने के लिए हमे “r” और “θ” की मान की जरूरत होती है तो सबसे पहले इसकी मान को निकालते हैं।
Given : complex number z = 2 + 2 i
इसलिए r = ।z।= √(x²+y²)
= √(2²+2²)= √(4+4)=√8=√(2×2×2)=2√2
अब: चुंकि tanθ = y/x
इसलिए θ = tan -1 (y/x)= tan -1 (2/2) = tan -1 (1) = π/4
अत : r= 2√2 & θ = π/4
अब चूँकि ploar form = z= r (cosθ + i sinθ)
इसलिए ploar form = z = 2√2 (cosπ/4 + i sinπ/4)
पुन : चूंकि Euler form = r.eiθ
इसलिए Euler form = 2√2 .eiπ/4
Cube roots of Unity in hindi
a1/2 = “a ” का square root
a1/3 = “a ” का cube root
a1/4 = “a ” का 4th root
a 1/n = “a ” का nth root
Cube roots of Unity को कैसे निकाले ?
माना , 1 का Cube roots “x” है
इसलिए 11/3 = x
दोनो तरह power “3” करने पर
1(1/3)3 = x³
1 = x³
1 – x³ = 0
1³ – x³ = 0 [ चूंकि 1³= 1]
(1 – x ) (1²+1x + x² ) = 0 [a³ – b³ सूत्र द्वारा]
अब : (1 – x ) = 0 or (1+x + x² ) =0
यदि (1 – x ) = 0 हो तो x= 1 होगी
ओर यदि ( x² + x + 1 ) =0 होगी तो
अब quadratic formula =
a= [(-b) ± √(b²- 4ac)] /a
इसलिए quadratic formula का उपयोग करने पर
( x² + x + 1 ) = 0 हो तो
a= 1 , b= 1 , c= 1 होगा
इसलिए x = [(-1) ± √(12-4.1.1)] /2
=[-1 ± √-3]/2
अब : चूंकि √-3 = √3 × √-1= i√3 [ चूंकि √-1= i ]
इसलिए x= -1/2 ± i√(3)/2
अत : x = -1/2 + i√(3)/2 or x= 1/2 – i√(3)/2
इसलिए x की हमे तीन वैल्यू मिलती है एक वैल्यू जो उपर में ही निकाला गया है ।